Étudier une fonction, ou utiliser un argument de convexité. et on considère $a\in\mathbb R$. Le processus se termine lorsque la particule atteint une des extrémités du segment (i.e. Accueil; TS . On vérifie bien que la somme des probabilités vaut 1. \frac 13&0&\frac 13
Supposons d'abord que $\mathbb P_A=\mathbb P$. P(A)&=&P(A|R_1)P(R_1)+P(A|R_2)P(R_2)+P(A|R_3)P(R_3)\\
$$\chi_M(x)=\frac 19(1-x)\left(\frac 34-6x+9x^2\right).$$
\begin{eqnarray*}
On obtient finalement :
On note $E_{n,N}=\bigcap_{k=n}^N \overline{A_k}$ et $E_n=\bigcap_{k\geq n}\overline{A_k}$. C'est conforme à l'intuition. Ce cours sâadresse à des étudiants de la ï¬lière MIAGE, les notions mathématiques sont simpliï¬ées. EXERCICES CORRIGÉS Pour s'entraîner. D'une part :
On trouve donc :
En particulier, on a que $S_n/n$ tend vers $\frac{13}{85}$, ce qui est proche du résultat trouvé en faisant tourner l'algorithme de la première question pour une grande valeur de $n$. Ces deux derniers événements sont incompatibles, on a donc :
On choisit de manière équiprobable un entier $x$ dans $\{1,\dots,n\}$. \begin{eqnarray*}
Mais, la suite $(E_{n,N})_N$ est décroissante et
$$u_{a+1}=\frac{1}{p}u_a-\frac{q}{p}u_{a-1}.$$
Une forêt se compose de trois types d'arbres : 30% sont des chênes, 50% des peupliers, et 20% des hêtres. Exemple d'un forage pétrolier.Soit un endroit où l'on suppute la présence de pétrole avec une probabilité p connue.. Si on effectue un test, cette probabilité pourra être rectifiée à une valeur q encore inconnue. Quelle est la probabilité que le livre soit entièrement corrigé à l’issue de la $n$-ième lecture ? \begin{eqnarray*}
$$C=\left\{\textrm{L'étudiant connait la bonne réponse}\right\}.$$
0&-2&-2
On a
$$P_{C_n}(A_{n+1})+P_{C_n}(B_{n+1})+P_{C_n}(C_{n+1})=1,$$
\begin{eqnarray*}
Mais, puisque la somme des lignes de chaque vecteur $U_n$ fait $1$, il en est de même de la somme des lignes des vecteurs de $U_\infty$. &=&0P(X_n=1)+\frac 12 P(X_n=2)+\frac 12 P(X_n=3). On note $A$ l'événement "avoir un accident dans l'année". $P(A|B)=u_{a+1}$, et de même $P(A|C)=u_{a-1}$. On a donc $v_k=\left(\frac{-7}{10}\right)^{k-1}v_1$ et donc
On note $u_a$ la probabilité pour que la particule partant de $a$, le processus s'arrête en $0$. si les composants sont disposés en série. On a $U_n=A^n U_0=PD^n P^t U_0$ où on a conservé les notations de la question précédente. \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} &=&\frac{3}{10}. d'inverse
Donner, en fonction de $p_0,q_0$ et $r_0$ la probabilité $p_1$ qu'un enfant de la génération 1 ait un génotype AA. \begin{array}{ccc}
Notons $A_i$ l'événement "l'erreur numéro 1 n'est pas corrigée par le $i$-ème relecteur". $$P_M(H)=\frac{5}{10},\ P_M(Q)=\frac2{10}.$$
Quelle est la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans la population ait un accident dans l'année? Nous cherchons $P_D(T)$ que l'on calcule toujours par la formule de Bayes. Une maladie est présente dans la population,
Remarquons par ailleurs ici une bonne illustration du vieil adage des statisticiens : on peut faire dire n'importe quoi aux chiffres, cf le laboratoire pharmaceutique! "$x$ est premier avec $n$". \frac 12&0&\frac 12\\
&=&0+\frac 12\times\frac 13+\frac 12\times\frac 13=\frac 13. Ainsi, $A$ doit être un événement presque sûr. Les variables aléatoires étant indépendantes, on en déduit que
Exprimer $P(G_k)$ en fonction de $P(A_k)$. $$v_a=pv_{a+1}+qv_{a-1}.$$
le polynôme caractéristique de $A$, ou remarquer que $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ est vecteur propre de $A$ pour la valeur propre $1$, et que $A+\frac 12I_3$ est de rang 1, ce qui assure que $-1/2$ est valeur propre d'ordre 2. $$P(\bar D|A)=1-P(D|A)=0,4$$
D'autre part, puisque $p_{i_1},\dots,p_{i_m}$ sont premiers entre eux deux à deux, un entier est multiple de
Montrer que $P(A_{k+1})=-\frac7{10}P(A_k)+\frac9{10}$. READ PAPER. P(G_k)&=&P(G_k|A_k)P(A_k)+P(G_k|\overline{A_k})P(\overline{A_k})\\
On a donc :
On en déduit alors que
Le contrôle des
-\frac 12&0&-\frac 14\\
Calculons maintenant chacune des probabilités. Traduire les informations de l'énoncé, utiliser la formule des probabilités totales. $$P_{C_n}(A_{n+1})=\frac 1{12},\ P_{C_n}(B_{n+1})=\frac 7{12}.$$
Un enfant lors de la conception hérite d’un allèle de chacun de ses parents,
\end{eqnarray*}
Vous jouez à pile ou face avec un autre joueur. Une particule se trouve à l'instant 0 au point d'abscisse $a$ ($a$ entier), sur un segment gradué de $0$ à $N$ (on suppose donc $0\leq a\leq N$). Enfin, puisque les $X_i$ ont toutes la même loi que $X_1$, on a
\end{eqnarray*}, On joue sur la machine $\mathcal A$ la $k+1$-ième partie si et seulement si. &=&0,175. Les formules donnant $p_2$, $q_2$ et $r_2$ en fonction de $p_1-r_1$ sont identiques aux formules donnant $p_1$, $q_1$ et $r_1$ en fonction de $p_0-r_0$. P(\overline{B}|A)&=&\frac{P(\overline{B})P(A|\overline{B})}{P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B})}\\
$$r^2-\frac{1}{p}r+\frac{q}{p}=0.$$
Démontrer que $p_1$, $q_1$ et $r_1$ s'expriment uniquement en fonction de $\alpha=p_0-r_0$. On en déduit que
Si M.Martin n'a pas eu d'accident cette année, quelle est la probabilité qu'il soit un bon risque? $$r_1=\frac 14(1-\alpha)^2.$$
Quelle est la probabilité pour que la première boule tirée
$$P(A)=\lim_n P(\overline{E_n})=1.$$. $$p_n=\frac12+\frac 12(2p-1)^n.$$. Utilisant que $u_0=1$ et $u_N=0$, on obtient :
$$P(F_1\cup F_2\cup F_3)=p_1+p_2+p_3-p_1p_2-p_1p_3-p_2p_3+p_1p_2p_3.$$, L'événement $F_2\cup F_3$ est indépendant de $F_1$. \end{pmatrix}.$$
$A_1\cap\dots\cap A_n$ qui vaut donc
$$a_n=\frac 12\left(\left(\frac 12\right)^n+\left(\frac 16\right)^n\right),\ b_n=1-\frac12\left(3\left(\frac 12\right)^n+\left(\frac 16\right)^n\right)$$
Exercices corrigés de probabilités discrètes : proba, suites, loi binomiale. On suppose dans cette question seulement que $X_0$ suit une loi uniforme sur l'ensemble $\left\{1,2,3\right\}$. P(M|T)&=&\frac{P(T|M)P(M)}{P(T|M)P(M)+P(T|\bar M)P(\bar M)}\\
La variable aléatoire $X_1$ suit donc une loi uniforme sur $\{1,2,3\}$. On n'a plus de traces de l'information initiale! Il semble raisonnable de convenir que $P(P|H)=1/2$ et $P(F|H)=1/2$ et $P(P|T)=1$ (un tricheur fait vraiment ce qu'il veut!). Quelle est
Il faut calculer pour le premier cas $P(F_1\cap F_2\cap F_3)$, pour le second $P(F_1\cup F_2\cup F_3)$, et pour le troisième $P(F_1\cap(F_2\cup F_3))$. $$P(S_n\geq na)\geq P\big((X_1\geq a)\cap (X_2\geq a)\cap\dots\cap(X_n\geq a)\big).$$
Soit $(A_n)_{n\geq 0}$ une suite d'événements indépendants. Le test engendre donc beaucoup de faux-positifs (personnes positives au test, mais non malades). $$P(C)=p,\ P(B|C)=1,\ P(B|\bar C)=\frac{1}{m}.$$
Le tirage comporte les deux boules noires. Sachant que la deuxième partie a été gagnée, quelle est la probabilité que la première partie ait eu lieu sur la machine ${\mathcal A}$? Déterminer. Download Full PDF Package. Il faudra convenir de certaines probabilités de bon sens. En particulier, cet algorithme prendra en entrée l'abscisse $a$ de départ,
Par la formule des probabilités totales :
On peut appliquer la formule des probabilités totales :
$$P(S_n \geq na)\geq \big(P(X_1\geq a)\big)^n.$$
Retirer la limite possible pour retrouver une suite
P_M(C)&=&\frac{P_C(M)P(C)}{P_C(M)P(C)+P_H(M)P(H)+P_Q(M)P(Q)}\\
On trouve finalement :
En déduire la valeur de $\lim_n p_n$. Ainsi, on a
P(A)&=&P(A\cap B_1)+P(A\cap B_2)+P(A\cap B_3)\\
HP = Hors nouveau programme 2012-2013. $A$="les deux enfants sont de sexes différents", Soient $A,\ B,\ C$ trois événements. \end{array}
27 Full PDFs related to this paper. On supposera qu'on dispose d'une fonction alea() qui retourne un nombre aléatoire suivant une loi uniforme sur $[0,1]$. \end{eqnarray*}
Utilisant que
On vérifie aisément que $u_a+v_a=1$. si la pièce est bonne, elle est acceptée avec la probabilité 0,96. si la pièce est mauvaise, elle est refusée avec la probabilité 0,98. Par définition,
L'énoncé nous dit que les 2/3 des pièces produites proviennent de l'atelier 1. \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} Écrire en termes d'ensembles les événements $A,\ B$ et $A\cap B$. Ce choix fait, il y a 2 choix pour les boules noires, et 8 choix pour les boules blanches. \end{eqnarray*}
On cherche à connaitre $P_M(C)$. $$P(F_1\cap F_2\cap F_3)=p_1p_2p_3.$$, D'après la formule précédente, et par indépendance des événements :
Écrire un algorithme qui simule cette marche aléatoire. &=&\frac{0,1\times 0,3}{0,1\times 0,3+0,04\times 0,5+0,25\times 0,2}\\
Utiliser l'inégalité précédente et l'hypothèse. Donner une relation de récurrence entre $p_{n+1}$ et $p_n$. \begin{eqnarray*}
D'autre part, puisque $n\leq p$, ceci n'est possible que si $n=0$ ou $n=p$. 1&1&1\\
Exemple de problème réel. Multiplication d'une matrice ligne de format $3$ par une matrice carrée de format $3$. $$B=\textrm{"tirage d'un multiple de 3''}.$$
$$v_a=\frac{p^N}{p^N-q^N}+\frac{p^N}{q^N-p^N}\left(\frac{q}{p}\right)^a.$$. et donc ceci fonctionne dès que $n\geq 10$. Il faut juste remarquer que maintenant,
\end{eqnarray*}
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$
\end{array}\right.$$
$$P(C|B)=\frac{P(B|C)P(C)}{P(B)}=\frac{mp}{1+(m-1)p}.$$. géométrique. Cette équation du second degré admet deux solutions distinctes,
Les statistiques indiquent que les probabilités d'avoir un accident au cours de l'année pour une personne de l'une de ces trois classes sont respectivement de 0.05, 0.15 et 0.30. on joue sur la machine $\mathcal A$ la $k$-ième partie et on gagne; on joue sur la machine $\mathcal B$ la $k$-ième partie et on perd. Voici un algorithme possible. Calculer le nombre dérivé (Niv.1) Calculer le nombre dérivé (Niv.2) ... Appliquer la formule des probabilités totales Démontrer l'indépendance entre deux événements Utiliser l'indépendance entre deux événements (1) donc avoir l’un des trois génotypes suivants : AA, Aa, aa. This paper. On a une suite arithmético-géométrique. La matrice $A$ est symétrique réelle. $$P(A_1|G_2)=\frac 3{50}\times\frac{200}{31}=\frac{12}{31}.$$, On applique la formule des probabilités totales comme à la première question. On cherche $P(A\cap D)=P_A(D)P(A)=0,03\times \frac 23=\frac 1{50}$. On en déduit que
&=&1-\prod_{i=1}^n (1-p_i). ce qui implique que
Il y a donc en tout $3\times 2\times 8$ tels tirages. $5\%$ des boites sont abîmées. de type Aa, les enfants peuvent être du type AA ou Aa. Par composition par la fonction exponentielle, $\big(P(E_{n,N})\big)$ tend vers 0 lorsque $N$ tend vers l'infini
Cette probabilité est supérieure à $0,9$ si et seulement si
On tire un dé au hasard parmi 100 dés. L'équation caractéristique de cette récurrence est :
Exercices corrigés - Couple de variables aléatoires. D'après la formule des probabilités totales, on sait que
Ainsi si le père est du type AA et la mère
ce qui prouve le résultat voulu. On les suppose mutuellement indépendants et de probabilités respectives $p_i = P(A_i)$. P_D(T)&=\frac{P(T)P_T(D)}{P_T(D)P(T)+P_{\bar T}(D)P(\bar T)}\\
On pose, pour $n\geq 1$, $S_n=X_1+\dots+X_n$
Sachant qu'un arbre est malade, quelle est la probabilité que ce soit un chêne? L'atelier 1 fabrique en une journée deux fois plus de pièces que l'atelier 2. Le gérant estime que : Un questionnaire à choix multiples propose $m$ réponses pour chaque question. $$P(D)=P(A)P(D|A)+P(\bar A)P(D|\bar A)=\frac{49}{1000}.$$, On obtient $P(A|D)$ grâce à la formule de Bayes :
La troisième bifurcation au résultat possible du troisième tirage. &=&0,05\times 0,2+0,15\times 0,5+0,3\times 0,3\\
Les données dont on dispose sont $P(M)=10^{-4}$, $P(T|M)=0,99$ et $P(T|\bar M)=0,001$. Calculer la probabilité qu'une personne est malade si elle a une réponse positive au test. Les calculs sont les mêmes de la génération 0 à la génération 1 ou de la génération 1 à la génération 2. Exercices en ligne. On peut calculer
Démontrer que $M$ est diagonalisable, et trouver $P$ inversible et $D$ diagonale telles que $M=PDP^{-1}$. \end{eqnarray*}
$$P(G_2)=\frac 12\left(\frac15\times\frac 15+\frac45\times\frac1{10}\right)+\frac12\left(\frac1{10}\times\frac1{10}+\frac{9}{10}\times\frac{1}{5}\right)=\frac{31}{200}.$$, Appliquons la formule de Bayes : on a
\newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} &=&1-\prod_{i=1}^n P(\overline{A_i})\\
Pour $n\ge 1$, on pose $S_n=\sum_{k=1}^nP(G_k)$. Donner une relation de récurrence entre $a_{n+1}$, $b_{n+1}$, $c_{n+1}$ et $a_n$, $b_n$ et $c_n$. $$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)}{P(B)}=\frac 38$$
Décomposer l'événement en "bonne et refusée" et "mauvaise et acceptée", ces deux événements étant incompatibles. On note $X_n$ la position de la puce à l'instant $n$. On en déduit que $P(A)=\frac 12$. Le client constate qu'un des clés achetées est défectueuse. On en déduit que
$x$ est premier avec $n$ si et seulement si aucun des diviseurs premiers de $n$ ne divise $x$. On reconnait la somme d'une suite géométrique. \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} $$P(X_1\geq a)>0\iff \forall n\geq 1,\ P(S_n\geq na)>0.$$. $$P(B_1\cap B_2\cap N_3)=P(B_1)P(B_2|B_1)P(N_3|B_1\cap B_2).$$
$$E_{n}=\bigcap_{N\geq n}E_{n,N}.$$
\newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} Pour le sens direct, on remarque que
$60\%$ des boites abîmées contiennent au moins une clé défectueuse. \right).$$. 1) HP = Première question hors nouveau programme 2012-2013. Reprendre les questions précédentes avec $v_a$ au lieu de $u_a$. On note :
$$P(E)=P(A\cap\overline{B})+P(\overline{A}\cap B).$$
si le circuit est mixte : $C_1$ est disposé en série avec le sous-circuit constitué de $C_2$ et $C_3$ en parallèle. On introduit ensuite $v_k=P(A_k)-\frac{9}{17}$ et on vérifie facilement que
On démontre de même que $P(B\cap D)=\frac 1{75}$ et donc que
On note également $B$ l'événement
Mais, $P(I_{n+1}|I_n)=p$ (l'information doit être transmise correctement)
On tire
Préliminaire. On cherche $P_C(T)$. &=&\frac 13a_n+\frac 1{12}c_n. Réduction des matrices symétriques réelles. Les valeurs propres sont $1, \frac 12,\frac 16$. La deuxième bifurcation au résultat possible du premier tirage. On note, pour $n\geq 1$, $X_n$ le vecteur $X_n=\left(\begin{array}{c}a_n\\b_n\\c_n\end{array}\right)$. Puisque $p_1-r_1=p_0-r_0$, on en déduit que $p_2=p_1$, $q_2=q_1$ et $r_2=r_1$. \end{eqnarray*}
Le résultat est plus ou moins réconfortant suivant la proportion de tricheurs $x$ dans la population! On a :
On a donc $P(A)=1/2$, $P(B)=1/3$ et $P(A\cap B)=1/6=P(A)P(B).$ Les événements $A$ et $B$ sont indépendants. Appliquer la formule des probabilités totales. $$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C).$$, On dispose de 3 composants électriques $C_1,\ C_2$ et $C_3$ dont la probabilité de fonctionnement est $p_i$, et de fonctionnement totalement indépendant les uns des autres. On en déduit :
\begin{align*}
Soit $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ un espace probabilisé. On a donc
Démontrer l'équivalence suivante :
$$\ell=\frac{-7\ell}{10}+\frac9{10}$$
On pose alors $u_n=p_n-\frac 12$ et on vérifie que $(u_n)$ est géométrique de raison $(2p-1)$. Autrement dit, si $x_n$ est l'abscisse de la particule à l'instant $n$, on a :
Determiner la probabilité de gagner la première partie. $\overline{A_1},\dots,\overline{A_n}$ le sont aussi. $$P(G_k)=\frac{13}{85}-\frac 1{340}\left(-\frac7{10}\right)^{k-1}.$$. $$P((A\cup B)\cap C)=P( (A\cap C)\cup (B\cap C))=P(A\cap C)+P(B\cap C)-P(A\cap B\cap C),$$
que l'information après $n$ transmissions soit correcte. Notons $A$ l'événement ``la pièce provient de l'atelier 1'', $B$ l'événement ``la pièce provient de l'atelier 2'' et $D$ l'événement ``la pièce est défectueuse''. On en déduit $u_n=(2p-1)^n u_0$ avec $u_0=p_0-1/2=1/2$. Polynôme du second degré - discriminant. On va utiliser la formule des probabilités totales. $$r_1=\left(r_0+\frac 12q_0\right)^2.$$
Le livre est entièrement corrigé après la $n$-ième relecture si l'événement $\bigcap_{j=1}^4 \overline{B_j}$ est réalisé. \left(1-\frac{2^n}{3^n}\right)^4\geq 0.9&\iff& \left(\frac 23\right)^n\leq 1-(0.9)^{1/4}\\
Notons $A$ l'événement l'enfant a pour génotype AA, $B_1$ l'événement "les deux parents ont pour génotype AA", $B_2$ l'événement "l'un des deux parents a pour génotype AA et l'autre a pour génotype Aa" et $B_3$ l'événement "les deux parents ont pour génotype Aa". D'autre part, si la particule est à l'instant 1 en $a+1$, la probabilité que le processus s'arrête en 0 vaut $u_{a+1}$. ... Puisque $30\%$ des membres de lâassociation adhèrent à la section tennis on a, dâaprès la formule des probabilités totales : \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} Probabilités et suites Exercices corrigés â 1ère Exercice 1. Un joueur décide de jouer aux machines à sous. On note $F_i$ l'événement : ``le circuit $C_i$ fonctionne''. s'il existe $x_n$ avec $x_n=0$ ou $x_n=N$). On a : Par indépendance des événements :
Enfin, on note $p_1,\dots,p_r$ les diviseurs premiers de $n$. $$P(A)=\frac{2\times 9\times 8}{10\times 9\times 8}=\frac 15.$$
Soit $n\in\mathbb N^*$. On doit prouver que
P(A_1\cup\dots\cup A_n)&=&1-P(\overline{A_1}\cap\dots\cap \overline{A_n})\\
si les composants sont disposés en parallèle. la probabilité pour qu'il ait acheté une boite abîmée? Déterminer la probabilité de gagner la deuxième partie. En mathématiques, une chaîne de Markov est un processus de Markov à temps discret, ou à temps continu et à espace d'états discret. Distinguons les boules et ordonnons les tirages. $$P(A)=P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C).$$
Sa limite possible $l$ vérifie
On note $I_n$ l'événement : "l'information après $n$ transmissions est correcte''. Mouad Noubair. On tire sans remise et successivement 3 boules de cette urne. Donner les probabilités de $P(A)$, $P(\bar A)$, $P(D|A)$, $P(D|\bar A)$, $P(\bar D|A)$ et $P(\bar D|\bar A)$. Pour tout entier naturel $m$ qui divise $n$, calculer la probabilité de $A_m$. \end{array}
\right)$$
\end{eqnarray*}
Il va jouer sur deux machines ${\mathcal A}$ et ${\mathcal B}$ qui sont réglées de la facon suivante : Soit $(X_i)_{i\in\mathbb N}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même loi. probabilités composées :
Soit $p$ la probabilité qu'un étudiant connaisse la bonne réponse à une question donnée. On suppose qu'on a un espace probabilisé tel que l'univers $\Omega$ est un ensemble fini de cardinal un nombre premier $p$, et que le modèle choisi soit celui de l'équiprobabilité. $$P_{A_n}(A_{n+1})=P_{A_n}(B_{n+1})=P_{A_n}(C_{n+1})=\frac 13$$
$$q_1=1-\left(p_0+\frac 12q_0\right)^2-\left(r_0+\frac 12q_0\right)^2.$$. Le problème est plutôt le suivant : si une personne a une réponse positive au test, est-elle malade? $$P(E)=0,95\times 0,04+0,05\times 0,02.$$, Dans cette question, on cherche $P(\overline{B}|A)$ alors que l'on connait les probabilités conditionnelles sachant $B$. On résout $\ell=a\ell+b$ puis on étudie $v_n=u_n-\ell$. $$u_a=\frac{q^N}{q^N-p^N}+\frac{p^N}{p^N-q^N}\left(\frac{q}{p}\right)^a.$$, Le même raisonnement prouve que :
Si $p\in]0,1[$, alors $|2p-1|<1$ et donc $(p_n)$ converge vers 1/2. Montrer que si $0 The Greatest Showman Streaming Amazon,
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