On considère un plan infini xOy portant la densité surfacique de charge s uniforme, situé en z=0. Rappeler l’expression du champ électrique créé par un fil infini portant la densité linéique de charge \(\lambda\) en un point M distant de r de celui-ci. Dès lors on commence à sentir les effets de bords et l'évolution du champ commence à s'écarter sensiblement de l'expression trouvée. Si le fil n'est pas infini, vu de loin, il ressemble à un point (une charge ponctuelle). a) Calculer l'énergie électrostatique du dipôle b) Calculer la force exercée par le fil sur le dipôle Solution : Champ et potentiel créé par un fil infini en un point d’abscisse x : ln x cte 2 V i x 1 2 E 0 0 Les expressions trouvées étaient les suivantes : La supposition du fil infini permet d'utiliser les symétries et le théorème de Gauss. Vu qu'en réalité un fil infini n'existe pas, il arrive un moment ou la distance au fil est comparable à la longueur du fil. Lancer la ressource interactive. Le champ électrostatique créé par un fil infini uniformément chargé est calculé ici à partir de la loi de Coulomb et du principe de superposition. Soit un fil infiniment long de densité linéique Soit un point P à la distance de O. On considère un fil rectiligne de longueur infinie portant une densité de charge uniforme 0 placé suivant l’axe Oy. Choix du repère (cartésien, cylindrique, sphérique) 2. Le potentiel est pris nul à l'infini à chaque fois. Lorsqu'on dispose de distributions très symétriques ou infinies, il est souvent plus simple d’utiliser le théorème d'Ampère pour calculer le champ magnétique engendré par la distribution : . En déduire, à une constante près, le potentiel au voisinage du fil. Théorème de Gauss - Potentiel électrostatique Exercice 1 : Fil uniformément chargé: symétrie cylindrique Soit un fil infini uniformément chargé avec une densité de charge linéique λ > . e) Donner le potentiel V(M). Calculer en un point M de coordonnées cylindriques ( r , θ , z ) le champ électrostatique créé par un segment de l’axe (Oz) , de charge linéique unifor me λ , compris entre les points P 1 et P2 d’abscisses z 1 et z2, repérés par les angles β1 et β2. 1. En déduire le potentiel V. On posera V(r 0) = V 0. charge élémentaire dq=λdz en M. b) Par des considérations de symétrie déterminer la composante utile à l'intégration de dE. 4.3 - Distribution surfacique Dans le cas d’une distribution surfacique de charges, on considère une charge dq portée par un élément de surface dS (figure 9). 1. Potentiel électrostatique créé par un fil rectiligne infini uniformément chargé potentiel électrostatique créé par un disque uniformément chargé Potentiel absolu au centre d'une charge "ponctuelle" Nous avons étudié le champ électrostatique créé par un plan infini chargé en surface (TD-EM11 : Champ obtenu à partir de celui du disque chargée). 1- Ecrire l’expression du champ dE r() créé par un élément de charge dq = dy en tout point r de l’espace. Le champ créé à une distance est donné par la relation : . 1. Soit un fil infiniment long chargé uniformément par une densité linéique de charges . 3- Calculer le potentiel Vr() Champ créé par un plan infini. 9) On se place maintenant dans le cas où R1 = 0 et on suppose que le rayon R est négligeable devant la longueur du cylindre chargé. Et elle correspond assez bien à la réalité à condition de 'r' soit petit devant la longueur du fil (et grand par rapport à son diamètre). Corrigé : 1. z Plaçons-nous dans un repère cylindrique. Légende : Déterminer le champ électrostatique créé par un fil rectiligne infini uniformément chargé (de densité linéique de charge ) en tout point de l'espace (en dehors du fil). On peut montrer que le champ et le potentiel V(M) ne sont pas définis en un point M situé sur le fil chargé. c) Calculer le champ électrique E généré par le fil de longueur 2L. Donner l'unité de s. Puis à chaque étape, on double la longueur du fil et on peut calculer, en M, LE potentiel créé par le fil. Remarque. 2- En déduire le champ total Er() en tout point de l’espace. 2. 2. Calculer le champ créé par cette distribution de charges en un point M de l’axe du disque : a) A partir du potentiel … On se place dans un système de coordonnées cartésiennes de sorte que le champ électrique crée par ce plan s'écrive sous la forme E = E(x, y, z). Ecrire l'intégrale permettant de donner le module du champ total créé par le fil. Simplification de l’expression de → par utilisation des symétries et invariances; Choix du contour d'Ampère fermé (en fonction de → et de la distribution), puis orientation du contour. Ce fil est chargé uniformément par une densité linéique de charge . En. Calculer le champ et le potentiel engendrés par cette distribution en tout point M de l'espace, en supposant le plan à un potentiel nul. Champ électrique d'un plan infini et uniformément chargé : Partie II Notre mission : apporter un enseignement gratuit et de qualité à tout le monde, partout. En déduire le potentiel électrostatique créé par ce même fil au point M. Le trajet le plus simple est de se déplacer dans la direction radiale : Potentiel créé par une charge ponctuelle. Plus de 6000 vidéos et des dizaines de milliers d'exercices interactifs sont disponibles du niveau primaire au niveau universitaire. Potentiel créé par un cylindre rectiligne infini uniformément chargé Le champ électrostatique créé par une telle distribution a déjà été déterminé au chapitre précédent. Calculer par une intégrale le potentiel créé par un fil rectiligne infini portant une charge linéique uniforme. Exercice 3 : potentiel créé par deux fils infinis. Le potentiel électrostatique créé par ce fil est : Le champ électrique est : Incluses dans le corps du chapitre, elles abordes des points particuliers : Champ créé par une charge ponctuelle Symétries et invariances en électrostatique Champ électrique créé par un fil infini : calcul par la méthode intégrale Champ électrique créé par un fil infini : calcul par le théorème de gauss V créé par une charge ponctuelle: ... Cette circulation ne dépend pas du chemin suivi pour venir de l'infini jusqu'au point . 2 0 La pression électrostatique sur les armatures est la force électrostatique par unité de surface, elle vaut P Fc 2 . a) Quelle est la différence de potentiel existant entre deux points et situés respectivement à la distance et du fil ? Un élément de charge dq= σdS, centré en P (figure 13), crée en un point M de l’axe du disque un champ élémentaire donné par : Le disque chargé présente une symétrie de révolution autour de son axe, par exemple l’axe z’z, le champ est alors porté par cet axe. 3) Faire une représentation graphique de ⃗E (M) et V(M). Lorqu'on dispose d'une distribution de charges qu’il est facile de paramétrer (par exemple un disque chargé), on peut faire comme pour le champ le calcul du potentiel électrostatique en calculant l'intégrale explicitement : . Le but de cette application est de calculer le champ éléctrique créé par un fil infiniment long. d) Trouver E dans le cas d'un fil infini. L’armature négative, qui porte une charge –Q=- S subit donc une force de Coulomb qui vaut Fc S dirigée vers l’armature positive. Le moment dipolaire fait un angle avec l’axe x’Ox. UEL est un produit UNISCIEL. - Exemple du fil infini, rectiligne, uniformément chargé (fait en TD) - champ sur l'axe d'un spire 3.4) Invariances et symétries du champ électrostatique a) Plans de symétrie de la distribution de charge b) Plans d'anti-symétrie de la distribution de charge c) Invariance par translation de la distribution de charge Réalisés par B. Louchart, professeur de Physique-Chimie au Lycée E.Woillez de Montreuil-sur-mer (6 2) et colleur en Maths Sup MPSI et Maths Spé MP au Lycée Mariette de Boulogne-sur-mer (62) Champ et potentiel créés par un fil rectiligne infini uniformément chargé : Comparer ce résultat avec ce que l'on obtient en partant du champ obtenu à l'exercice n°6 en appliquant la relation entre le champ et le potentiel. 1) Déterminer le champ électrique créé par ce fil en un point de l’espace en utilisant le théorème de Gauss sur un cylindre approprié de hauteur (on justifiera 2) En déduire le potentiel V(M) en tout point M de l’espace. Soit un fil de longueur très grande devant la distance d'observation . Champ électrique créé par un disque. 2) Considérons deux fils infinis, parallèles, distants de … Champ électrique créé par un fil infini. 1.8. Soit un plan uniformément chargé en surface, de densité surfacique de charge séparant l'espace en deux demi-espaces z>0 et z<0. Potentiel absolu au centre d'une charge "ponctuelle" (page suivante) Potentiel électrostatique créé par un fil rectiligne infini uniformément chargé (page Précédente) Exercice 3 : potentiel créé par deux fils infinis. Vidéos. En utilisant la symétrie et l’invariance, préciser : Le système de coordonnées le mieux approprié. Calcul d'un potentiel en un … Calculez, de deux façons différentes, le champ électrique créé en un point M par un fil de longueur infinie et chargé uniformément avec une densité constante λ. On considère un fil rectiligne infini, uniformément chargé, portant une densité linéique de charge (charge par unité de longueur) . Champ créé par une distribution cylindrique Un cylindre infini, d’axe Oz, de rayon R, porte une densité volumique de charge uniforme. Exercice 5 : segment chargé. On isole un segment d centré sur P. (cf schéma ci-dessus). Une constante d’intégration est fixée arbitrairement (potentiel nul à l’infini par exemple). Cliquer sur [next-image] pour avancer pas à pas. 3. Rappeler l'expression du champ électrique créé par un fil infini portant la densité linéique de charge \(\lambda\) en un point M distant de r de celui-ci. On désigne par λ la densité linéique du fil. Pour un entier naturel n, le potentiel en M à l'étape n est évidemment fini, mais quand on fait tendre n vers l'infini, V(M) tend vers l'infini. La charge électrique contenue dans d est . En déduire l’expression du potentiel électrique. On sait que le potentiel est continu partout et que le potentiel à l'infini est pris nul. La charge totale de la distribution volumique peut être considérée répartie uniformément sur un fil infini. Exercice 5 - Disque uniformément chargé avec la densité superficielle uniforme Soit un disque de centre O, de rayon R, uniformément chargé avec une densité surfacique de charge σ > 0 (figure 12). Un fil rectiligne infini porte une charge uniforme de densité linéique λ>0. Oz étant un axe confondu avec le fil, on utilise les coordonnées cylindriques (r,θ,z). 2. Application numérique : , , .
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